Bonjour à tous j’espère avoir une réponse merci j’ai compris l’exercice mais au moment de l’identification au 2 je ne trouve pas les réponses associé au polynôm

bonjour,

P(x) = -x³ +9x² - 12x+4.

1. Calculer P(1). Que représente 1 pour P?

P(1) = -1³ + 9*1² - 12*1+4 = 0

donc 1 est racine de P(x)

2. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x:

P(x) = (x-1) (ax²+bx+c).

on développe

P(x) = ax³ + bx² + cx - ax² - bx - c

      = ax³ + (b-a)x² + (c-b)x - c

qui doit coller avec

P(x) = -1x³ +9x² - 12x + 4

on trouve donc que :

a = -1 et c = -4 et on va en déduire b

b-a = b+1= 9 => b= 8

ou c-b = -4-b = -12 => b = 8 ok

bonjour

 P(x) =  -x³ + 9x² - 12x + 4

1)

P(1) = - 1³ + 9*1² - 12*1 + 4 = -1 + 9 - 12 + 4 = -13 + 13 = 0

   1 est une racine de P(x)

2)

P(x) = (x - 1)(ax² + bx + c)

on n'a pas besoin de tout développer pour l'identification

• dans le développement il y a un seul terme en x³,  il provient du produit de x par ax²

    c'est ax³     d'où    a = -1

• dans le développement il y a un seul terme constant

  produit de -1 par c

  c'est -c  d'où c = -4

  P(x) = (x - 1)(- x² + bx - 4)

 il reste à trouver b

termes en x : x*(-4) - 1*bx = -4x - bx = x(-4 - b)

    -4 - b = -12

   4 + b = 12

    b = 8

                        P(x) = (x - 1)(- x² + 8x - 4)

3)

s'il y a d'autres solutions que 1 ce sont celles de -x² + 8x - 4 = 0

soit

x² - 8x + 4 = 0   on calcule le discriminant

        Δ = b² − 4ac = (-8)² - 4*1*4 = 64 - 16 = 48

         √48 = √(16 x 3) = 4√3

il y a deux autres racines qui sont

   x1 = (8 - 4√3)/2 = 4 - 2√3

  x2 = (8 + 4√3)/2 = 4 + 2√3

solutions : 1  ;  4 - 2√3  ;  4 + 2√3